Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x - 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{u^{3}}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{u^{3}}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

Étape 4

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$