Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $6 - 5 x^{3}$ par $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $- 5 x^{3}$ et $15 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.7

Associez $\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ et $15$ .

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Étape 3.8

Déplacez $15$ à gauche de $6 + 10 x^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.2

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.4

Associez des termes.

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Étape 3.9.4.1

Multipliez $15$ par $6$ .

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.4.2

Multipliez $10$ par $15$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.4.4

Multipliez $\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ par $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3.9.4.5

Multipliez ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ par ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.4.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

Étape 3.9.4.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Étape 3.9.4.6

Déplacez $25$ à gauche de $90 + 150 x^{3}$ .

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Étape 3.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 3.9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.6.1

Factorisez $30$ à partir de $90 + 150 x^{3}$ .

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Étape 3.9.6.1.1

Factorisez $30$ à partir de $90$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 3.9.6.1.2

Factorisez $30$ à partir de $150 x^{3}$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 3.9.6.1.3

Factorisez $30$ à partir de $30 (3) + 30 (5 x^{3})$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 3.9.6.2

Multipliez $30$ par $25$ .

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$