Calcul infinitésimal Exemples

$80 + \frac{4}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $80 + \frac{4}{x + 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Étape 1.2

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x + 1}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$