Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

Étape 1

Divisez $x^{2} + 1$ par $x^{2} - x$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x + 0$

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Étape 4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

Étape 4.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Étape 4.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.5.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Divisez $A (x - 1)$ par $1$ .

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Étape 4.1.6.5.2

Divisez $(B) (x)$ par $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

Étape 4.1.7

Déplacez $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A$

Étape 4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A$

Étape 4.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

Étape 4.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 1 A$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

Étape 4.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Étape 4.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Étape 4.3.1.2.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Étape 4.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

Étape 4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + B$ par $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Étape 4.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = - 1 + B$ .

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

Étape 4.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

Étape 4.3.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Étape 4.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = 2 A = - 1$

Étape 4.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = 2, A = - 1$

Étape 4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 9

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 9.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$