Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 - e^{- x} + \cos (x)$