Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{27}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 9 x^{2} + 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.10

Factorisez $3$ à partir de $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.15

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.16

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

Étape 3.17

Simplifiez les termes.

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Étape 3.17.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

Étape 3.17.2

Associez $18$ et $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

Étape 3.17.3

Associez $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ et $x$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Étape 3.17.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Étape 3.17.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.17.5.1

Divisez ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 3.17.5.2

Réorganisez les facteurs de ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$