Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{x + y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $x + y$ par $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $x + y - x - x y'$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $- (x y' - y)$ comme $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ dans le numérateur.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Étape 5.2.1.4

Déplacez $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez $y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.2.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.3.2.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.2.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ par $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ par $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$