Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Étape 4.4.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Étape 4.4.8

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Étape 4.5

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez par $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Étape 4.6.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Étape 4.7

Multipliez $3 x^{2} + 2 x$ par $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Étape 4.8

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Étape 4.8.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Étape 4.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Étape 4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Étape 4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Étape 4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$