Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} = e^{x - y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ .

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ par $e^{x - y}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ par $e^{x - y}$ .

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x - y}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $1 - y'$ par $1$ .

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.4.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ comme $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$