Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x - x^{3}$ , $[0, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 - (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 - 3 x^{2}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 12$ .

$- 3 x^{2} + 12$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 12 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 12$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 12$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 12$ par $- 3$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $12 x - x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$12 (2) - {(2)}^{3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 - {(2)}^{3}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$24 - 1 \cdot 8$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$24 - 8$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$16$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$12 (- 2) - {(- 2)}^{3}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$- 24 - {(- 2)}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 24 - - 8$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- 24 + 8$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 24$ et $8$ .

$- 16$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2, 16), (- 2, - 16)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2, 16)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$12 (0) - {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$12 (3) - {(3)}^{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$36 - {(3)}^{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$36 - 1 \cdot 27$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$36 - 27$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $27$ de $36$ .

$9$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (3, 9)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 16)$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 5