Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ .

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Étape 1.1

Factorisez ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x^{2} + y^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Étape 3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 10

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 11

Multipliez $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 12

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 13

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 17

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Étape 18

Simplifiez les termes.

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Étape 18.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 18.2

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Étape 18.3

Associez $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 18.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 18.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.5.1

Divisez ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 18.5.2

Réorganisez les facteurs de ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$