Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{a} 9 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = a^{2} - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = a^{2} - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Étape 2.5

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Étape 7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $0$ et sur $a^{2}$ .

$- \frac{9}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2.6

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 9.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 9.2.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 9.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Étape 9.2.7

Soustrayez $\frac{2}{3} a^{3}$ de $0$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Étape 9.2.8

Associez $a^{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Étape 9.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.10

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.11

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{9 (a^{3} \cdot 2)}{2 \cdot 3}$

Étape 9.2.12

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 9.2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{18 a^{3}}{6}$

Étape 9.2.14

Annulez le facteur commun à $18$ et $6$ .

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Étape 9.2.14.1

Factorisez $6$ à partir de $18 a^{3}$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6}$

Étape 9.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.14.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 (1)}$

Étape 9.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 9.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 a^{3}}{1}$

Étape 9.2.14.2.4

Divisez $3 a^{3}$ par $1$ .

$3 a^{3}$