Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 9 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 9 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$3 x^{2} - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 9 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 9 \cdot 1$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 9$ .

$3 x^{2} - 9$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 9 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 9 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 9$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 9$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $9$ par $3$ .

$x^{2} = 3$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\sqrt{3})$

Étape 9

Multipliez $6$ par $\sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Étape 10

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{3} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{3}} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{27} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{9 (3)} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2.1.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{3}) = 3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $9 \sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \sqrt{3})$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = - \sqrt{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - {\sqrt{3}}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{3}} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{27} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.5

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{9 (3)} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{3}) = - (3 \sqrt{3}) - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 3 \sqrt{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 3 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 3 \sqrt{3}$ et $9 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 9 x$ .

$(\sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ est un minimum local

$(- \sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ est un maximum local

Étape 17