Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{8}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 8 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 8 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 8}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{8}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 1.2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 16 x^{- 3}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.2.4.2

Associez $16$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{x^{3}}$

Étape 1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 2$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{16}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{16}{x^{3}} = - 2$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ .

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$16 = - 2 x^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{3} = 16$ .

$- 2 x^{3} = 16$

Étape 2.5.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3} - 16$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Étape 2.5.3.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 16$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 8 = 0$

Étape 2.5.3.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{3}) - 2 (8)$ .

$- 2 (x^{3} + 8) = 0$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Étape 2.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4

Factorisez.

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Étape 2.5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.5.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Étape 2.5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5.6

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.5.6.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{8}{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{8}{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $8$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ est $(- 2, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{{(- 2.1)}^{3}} + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{- 9.261} + 2$

Étape 5.2.1.2

Divisez $16$ par $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 1.72767519 + 2$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 1.72767519$ et $2$ .

$f'' (- 2.1) = 0.2723248$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.2723248$ .

$0.2723248$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $0.2723248$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.9$ dans l’expression.

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{{(- 1.9)}^{3}} + 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.9$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{- 6.859} + 2$

Étape 6.2.1.2

Divisez $16$ par $- 6.859$ .

$f'' (- 1.9) = - 2.33270155 + 2$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 2.33270155$ et $2$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.33270155$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.33270155$ .

$- 0.33270155$

Étape 6.3

Sur $- 1.9$ , la dérivée seconde est $- 0.33270155$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, \infty)$

Diminue sur $(- 2, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- 2, 0)$ .

$(- 2, 0)$

Étape 8