Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ comme $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ .

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Alors $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Étape 3.1.5

Additionnez $0$ et $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Étape 4.2

Déplacez $4$ à gauche de $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , donc $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$