Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2}$ comme $x^{2} (x + 3)$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Associez les fractions.

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Étape 1.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.15

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.16

Pour écrire ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.17

Associez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.19

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.19.1

Déplacez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Simplifiez ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Déplacez $2$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Simplifiez

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Étape 1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.22.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 1.22.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.11.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Étape 2.14

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 3}$

Étape 2.15

Associez les fractions.

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Étape 2.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Étape 2.15.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Étape 2.15.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Étape 2.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Étape 2.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.16.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.16.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.2

Laissez $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 2.16.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.4.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4

Simplifiez

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Étape 2.16.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.16.4.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.16.4.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.16.4.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.1.2

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.4.4.3

Soustrayez $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.5

Associez des termes.

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Étape 2.16.5.1

Associez $3$ et $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 2.16.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Étape 2.16.5.3

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Étape 2.16.5.4

Multipliez $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Étape 2.16.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.16.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 2.16.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Étape 2.16.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Étape 2.16.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 3))}$

Étape 2.16.6.2

Associez les exposants.

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Étape 2.16.6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Étape 2.16.6.2.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 ((x + 3) {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.16.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.16.6.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.16.6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.16.6.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2}$ comme $x^{2} (x + 3)$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Étape 4.1.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Étape 4.1.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Étape 4.1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Étape 4.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 4.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9

Associez les fractions.

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Étape 4.1.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.13.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.15

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.16

Pour écrire ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.17

Associez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.19

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.19.1

Déplacez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20

Simplifiez ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21

Déplacez $2$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22

Simplifiez

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Étape 4.1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.22.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 4.1.22.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x + 2) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 12$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 12$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 12$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 12$ par $4$ .

$x = - 3$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 3}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 < 0$

Étape 6.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 3$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 ((- 2) + 4)}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $3 ((- 2) + 4)$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- 1 + 2)}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 10

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Étape 11.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 12}$

Étape 11.2.4

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Étape 11.2.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2) = 2$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 {((- 3) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0}$

Étape 13.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15