Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 x}$ comme ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $9 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 4.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 4.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.15

Associez $\cos (x)$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.17

Simplifiez

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Étape 4.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.2

Associez des termes.

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Étape 4.17.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.2.2

Associez $3$ et $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$