Calcul infinitésimal Exemples

$- x^{3} + y^{3} - x y = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} + y^{3} - x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + y^{3} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.4.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y') - y$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - x y' - y$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - x y' - y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - x y' - y = 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - x y' = 3 x^{2} + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - x y' = 3 x^{2} + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- x) = 3 x^{2} + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- x)$ .

$y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$ par $3 y^{2} - x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$ par $3 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - x)}{3 y^{2} - x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - x)}{3 y^{2} - x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} + y}{3 y^{2} - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y}{3 y^{2} - x}$