Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^{- 3} - 5) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} - 5 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1}$ et $- 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x$ sur $1$ et sur $\frac{1}{2}$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2} - 5 \cdot 1) - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.4

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.7.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 1 - 10}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.7.2

Soustrayez $10$ de $- 1$ .

$\frac{- 11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.9

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.12

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 4}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.13

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2}{1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.13.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 - 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.2.14

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 + \frac{- 5}{2})$

Étape 5.2.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{2} - (- 2 - \frac{5}{2})$

Étape 5.2.2.16

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

Étape 5.2.2.17

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})$

Étape 5.2.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{11}{2} - \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Étape 5.2.2.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.19.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 4 - 5}{2}$

Étape 5.2.2.19.2

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 9}{2}$

Étape 5.2.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2}$

Étape 5.2.2.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{11}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Étape 5.2.2.22

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$- \frac{11}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 5.2.2.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 11 + 9}{2}$

Étape 5.2.2.24

Additionnez $- 11$ et $9$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 5.2.2.25

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.25.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 5.2.2.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.25.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 5.2.2.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.2.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 5.2.2.25.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6