Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 6.2

Associez ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 6.3

Placez ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Étape 9

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Étape 10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Étape 11

Comme $z^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $z^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 12.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 12.4

Associez $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$