Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2 y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2 y}$ .

$\frac{2}{2 y} x + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.4

Associez $\frac{2}{2 y}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 y^{2}}{x}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} x^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + y^{2} \frac{- 3}{x^{2}}$

Étape 4.2.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{- 3}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x^{2}}$

Étape 4.2.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x^{2}}$

Étape 4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{y} - \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$