Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$