Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{7}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{7}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.2.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$21 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 6 t^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6 t^{4}$ par rapport à $t$ est $- 6 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$21 t^{6} - 6 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$21 t^{6} - 6 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [8 t^{3}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t^{3}$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 12^{t}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 12^{t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [12^{t}]$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $12$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [18]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.6.1

Comme $18$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $18$ par rapport à $t$ est $0$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + 0$

Étape 3.6.2

Additionnez $21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$ et $0$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$