Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sin (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $2$ et $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 (π)}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.3

Associez $\frac{π}{4}$ et $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.4

Réécrivez $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ comme un produit.

$- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.5

Multipliez $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.10

Additionnez $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8}$ et $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 10.3.11

Pour écrire $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Étape 10.3.12

Associez $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ et $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Étape 10.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Étape 10.3.14

Associez $8$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{8}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 10.3.15

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 10.3.15.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 10.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 10.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 10.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2}{1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 10.3.15.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{8}$

Étape 11.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Étape 11.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{0 π + 2 (1 - 0)}{8}$

Étape 11.5

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Étape 11.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 2 (1 + 0)}{8}$

Étape 11.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{8}$

Étape 11.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{0 + 2}{8}$

Étape 11.9

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2}{8}$

Étape 11.10

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 11.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Étape 11.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 11.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 11.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$