Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Étape 1

Prenez la dérivée de $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Étape 4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Étape 5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$