Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x) - \sin (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \cos (x)$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Étape 4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) - \cos (x)$