Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Alors $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , donc $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 1.1.5.3

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.1.5.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$