Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Étape 1

Divisez $x + 3$ par $4 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Étape 3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Étape 3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x + 2$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = 2 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$