Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} - y^{2} = 7 x - 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (7 x - 5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x - (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 x - 2 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 8 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$7$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 8 x = 7$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' = 7 - 8 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = 7 - 8 x$ par $- 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = 7 - 8 x$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 2$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8 x$ .

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 (y)}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$