Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

Étape 2

Divisez $x^{2}$ par $- x + 1$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

Étape 2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Étape 2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Étape 2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

Étape 2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

Étape 2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

Étape 2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$