Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2

Associez $\cos^{2} (2 x)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.4.2

Divisez $\cos^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Étape 5.4.2

Réorganisez les facteurs de $\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$