Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}]$ .

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Étape 2.1

Comme $80$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}$ par rapport à $t$ est $80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}]$ .

$80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \sin (0.6 t)$ et $g (t) = t$ .

$80 \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (0.6 t)] - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 0.6 t$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$80 \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.4

Comme $0.6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.6 t$ par rapport à $t$ est $0.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \frac{d}{d t} [t])) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.7

Multipliez $0.6$ par $1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \cdot 0.6) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.8

Déplacez $0.6$ à gauche de $\cos (0.6 t)$ .

$80 \frac{t (0.6 \cdot \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$80 \frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 2.10

Associez $80$ et $\frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Étape 3

Comme $15$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $15$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $0.6$ par $80$ .

$\frac{48 (t (\cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $80$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}} + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ et $0$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez $16$ à partir de $48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $16$ à partir de $48 t \cos (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $16$ à partir de $- 80 \sin (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t) - 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$