Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Étape 1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Étape 2

Réécrivez $x \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Étape 3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Étape 3.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 0$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$