Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 7}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ est positif.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{\sqrt{7}}{3}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3})}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{7} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{7} \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{\sqrt{7}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t)) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $7$ à partir de $7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6

Remettez dans l’ordre $7$ et $\tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{\sqrt{7}}{3}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3} (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.2

Associez $\tan (t)$ et $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3} \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3}$ et $\sqrt{7}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t)) \sqrt{7}}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.4

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.5

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1 + 1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7 \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.9

Déplacez $7$ à gauche de $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{7 \cdot \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{7 \tan (t) \sec (t)}{3}$ .

$\int 1 \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.11

Multipliez $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ par $1$ .

$\int \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2.12

Multipliez $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ par $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{7 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Étape 2.2.13

Multipliez $3$ par $7$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{21 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $21 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Étape 2.2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Étape 2.2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.15

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.15.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.16

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 2.2.16.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.16.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}}) + C$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3}{\sqrt{7}} x) + C$