Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (3 x + \frac{π}{6})$

Étape 1

Écrivez $\sin (3 x + \frac{π}{6})$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Étape 4

Laissez $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$