Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.3

Différenciez.

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $- \frac{u_{2}}{2}$ sur $e^{- t^{2}}$ et sur $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ comme un produit.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Étape 6.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Évaluez la limite.

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Étape 7.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Étape 7.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Étape 7.1.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Étape 7.2

Comme l’exposant $- t^{2}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t^{2}}$ approche de $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Étape 7.3

Évaluez la limite.

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Étape 7.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{2 e}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Étape 7.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Étape 7.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Étape 7.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Étape 7.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Étape 7.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{e}$

Étape 7.3.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{e}$

Forme décimale :

$0.73575888 \dots$