Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.6.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} + x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.7

Additionnez $3 x^{2} - 2 x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 0}$

Étape 1.3.11

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Divisez $3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (3 - 2 + 1)$

Étape 4.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$1$