Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 x^{2} + 1 + x y^{2} = - 2 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$- 4 x + 0 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 4 x + 0 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x + 0 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Étape 2.4.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 2.4.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 x y y' + y^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$- 4 x + 2 x y y' + y^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x = - 6 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $6 y^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = - y^{2}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y y' + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Étape 5.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x y y' + 6 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$2 y y' x + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$2 y y' x + 2 y y' (3 y) = - y^{2} + 4 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' x + 2 y y' (3 y)$ .

$2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ par $2 y (x + 3 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ par $2 y (x + 3 y)$ .

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 3 y$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 y (x + 3 y)}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$