Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

Étape 4.2

Développez $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.5

Simplifiez $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

Étape 4.3.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 7

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Alors $d u_{2} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 11.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 12.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 15

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 16

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$