Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$h'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$h'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $24 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) + 36 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $36 x$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x^{2}) - 12 x (- 2 x)$ .

$- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x (- 3)$ .

$- 12 x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 12 x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 3, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 36 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Étape 9.1.3

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 + 0 + 36$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 36$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$36$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = - 3 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = - 3 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$h (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $8$ par $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $18$ par $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$h (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(3)}^{2} + 48 (3) + 36$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 36 \cdot 9 + 48 (3) + 36$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 36$ par $9$ .

$- 324 + 48 (3) + 36$

Étape 13.1.3

Multipliez $48$ par $3$ .

$- 324 + 144 + 36$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 324$ et $144$ .

$- 180 + 36$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 180$ et $36$ .

$- 144$

Étape 14

$x = 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$h (3) = - 3 {(3)}^{4} + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$h (3) = - 3 \cdot 81 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $81$ .

$h (3) = - 243 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$h (3) = - 243 + 8 \cdot 27 + 18 {(3)}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $8$ par $27$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 18 {(3)}^{2}$

Étape 15.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 18 \cdot 9$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $18$ par $9$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 162$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 243$ et $216$ .

$h (3) = - 27 + 162$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $162$ .

$h (3) = 135$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $135$ .

$y = 135$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1) + 36$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 36 \cdot 1 + 48 (- 1) + 36$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$- 36 + 48 (- 1) + 36$

Étape 17.1.3

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$- 36 - 48 + 36$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $48$ de $- 36$ .

$- 84 + 36$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 84$ et $36$ .

$- 48$

Étape 18

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$h (- 1) = - 3 {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$h (- 1) = - 3 \cdot 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$h (- 1) = - 3 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$h (- 1) = - 3 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 \cdot 1$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $18$ par $1$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$h (- 1) = - 11 + 18$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 11$ et $18$ .

$h (- 1) = 7$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(3, 135)$ est un maximum local

$(- 1, 7)$ est un maximum local

Étape 21