Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{1}{2}} + C$