Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 42$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $4 x^{2} + 14 x - 8$ et $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 14 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.3

Multipliez $14$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $8 x + 14$ et $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 42$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $4 x^{2} + 14 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} + 14 x - 8$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) + 14 x - 8 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $14 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) - 8 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$2 (2 x^{2} + 7 (x) - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 1$ plus $8$

$2 (2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)) = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$2 ((2 x - 1) (x + 4)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 (\frac{1}{2}) + 14$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2} + 14$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2} + 14$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 14$

Étape 9.2

Additionnez $4$ et $14$ .

$18$

Étape 10

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.2

Associez.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 (1)}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.11

Associez $7$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 (- 4) (\frac{1}{2}) - 42$

Étape 11.2.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2})) - 42$

Étape 11.2.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{3} - 4 - 42$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 4 - 42$

Étape 11.2.2.5

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} - 42$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{12}{12} - 42$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} - 42$

Étape 11.2.2.8

Écrivez $- 42$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $\frac{- 42}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $\frac{- 42}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.2.11

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.2.12

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.2.13

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.2.14

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 7 \cdot 3 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 42 \cdot 12}{12}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $- 42$ par $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 504}{12}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $2$ et $21$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{23 - 48 - 504}{12}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $48$ de $23$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 25 - 504}{12}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $504$ de $- 25$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 529}{12}$

Étape 11.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{529}{12}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $- \frac{529}{12}$ .

$y = - \frac{529}{12}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 (- 4) + 14$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$- 32 + 14$

Étape 13.2

Additionnez $- 32$ et $14$ .

$- 18$

Étape 14

$x = - 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 4$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 4$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot - 64 + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 64$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot - 64}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{- 256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 \cdot 16 - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $7$ par $16$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 - 8 \cdot - 4 - 42$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 + 32 - 42$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $112$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} + 32 - 42$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{112}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 32 - 42$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{112}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 32 - 42$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} - 42$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 42$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 42$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $- 42$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1}$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{- 42}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{- 42}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = \frac{- 256 + 112 \cdot 3 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $112$ par $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $32$ par $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 42 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $- 42$ par $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 126}{3}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 256$ et $336$ .

$f (- 4) = \frac{80 + 96 - 126}{3}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $80$ et $96$ .

$f (- 4) = \frac{176 - 126}{3}$

Étape 15.2.5.3

Soustrayez $126$ de $176$ .

$f (- 4) = \frac{50}{3}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{50}{3}$ .

$y = \frac{50}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{529}{12})$ est un minimum local

$(- 4, \frac{50}{3})$ est un maximum local

Étape 17