Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{5}$ et $g (w) = w^{3} + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{8} (5 u^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (5 {(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} ({(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Associez ${(w^{3} + 4)}^{4}$ et $\frac{5}{8}$ .

$\frac{{(w^{3} + 4)}^{4} \cdot 5}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Étape 3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(w^{3} + 4)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{3} + 4$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $4$ par rapport à $w$ est $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + 0)$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3 w^{2}$ et $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2})$

Étape 3.6.2

Associez $3$ et $\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ .

$\frac{3 (5 {(w^{3} + 4)}^{4})}{8} w^{2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} w^{2}$

Étape 3.6.4

Associez $\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ et $w^{2}$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4} w^{2}}{8}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{15 ({(w^{3})}^{4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(w^{3})}^{4}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{3 \cdot 4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(w^{3})}^{3}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{3 \cdot 3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{9} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.4

Multipliez les exposants dans ${(w^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{3 \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 16 + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.6

Multipliez $16$ par $6$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.7

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $4^{3}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.7.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

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Étape 4.2.7.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4^{1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3 + 1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{4} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.8

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Étape 4.2.9

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 256) w^{2}}{8}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(15 w^{12} + 15 (16 w^{9}) + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez $16$ par $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Étape 4.4.2

Multipliez $96$ par $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Étape 4.4.3

Multipliez $256$ par $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Étape 4.4.4

Multipliez $15$ par $256$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 3840) w^{2}}{8}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 w^{12} w^{2} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Multipliez $w^{12}$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{15 (w^{2} w^{12}) + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 w^{2 + 12} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $2$ et $12$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.2

Multipliez $w^{9}$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.2.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 (w^{2} w^{9}) + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{2 + 9} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.2.3

Additionnez $2$ et $9$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.3

Multipliez $w^{6}$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.3.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 (w^{2} w^{6}) + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{2 + 6} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.3.3

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.4

Multipliez $w^{3}$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.4.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 (w^{2} w^{3}) + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{2 + 3} + 3840 w^{2}}{8}$

Étape 4.6.4.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{5} + 3840 w^{2}}{8}$