Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $64 x^{6}$ comme ${(4 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{2})}^{3}}}{x^{5}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{5}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}]$

Étape 2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$4 (- 3 x^{- 4})$

Étape 6

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 12 x^{- 4}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 12}{x^{4}}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{x^{4}}$