Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (1 + 2 x + 3 x^{2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4

Simplifiez

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Étape 9.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.6

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.7

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 9.2.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.4.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 9.2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - 0)$

Étape 9.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} + 0)$

Étape 9.2.4.14

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3})$

Étape 9.2.4.15

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 + \frac{3}{3}$

Étape 9.2.4.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.4.16.1

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{3}{3}$

Étape 9.2.4.16.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 1$

Étape 9.2.4.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 10