Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 2 x - 8$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 8$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.11

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

Étape 1.1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Étape 1.1.12.2

Associez $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.12.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 8)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{2 x - 8} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{2 x - 8})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x - 8}$ comme ${(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(2 x - 8)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (2 x - 8) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 (2 x) + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.3.2.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $27$ .

$54 x + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6.2

Multipliez $27$ par $- 8$ .

$54 x - 216 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$54 x - 216 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Ajoutez $216$ aux deux côtés de l’équation.

$54 x = 216$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $54 x = 216$ par $54$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $54 x = 216$ par $54$ .

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $54$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{216}{54}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $216$ par $54$ .

$x = 4$

Étape 4

Évaluez ${(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(2 (4) - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

${(8 - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{2}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(4, 0)$

Étape 5