Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 3$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{3} = - 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{3} = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{3} = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 5.5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 5.5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 5.5.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 5.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 5.5.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 5.5.4.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 5.5.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 5.5.4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.5.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 5.5.4.5

Associez les exposants.

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Étape 5.5.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Étape 5.5.4.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Étape 5.5.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Étape 5.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

Étape 9.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \sqrt[3]{36}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ dans l’expression.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez $1296$ comme $6^{3} \cdot 6$ .

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Étape 11.2.1.2.3.1

Factorisez $216$ à partir de $1296$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.2.3.2

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $16$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Étape 11.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 3 \sqrt[3]{6}$ et $12 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ .

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = - x^{4} + 3 x$ .

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ est un maximum local

Étape 13