Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (1 + x^{2}) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (1 + x^{2})$ et $d v = 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 + x^{2}) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Étape 9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Étape 11

Simplifiez

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$