Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x - 2}} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x - 2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ .

$F (x) =$ $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$