Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 5

Laissez $u = 4 x - 6$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Étape 12.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 12.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 12.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Étape 12.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$